EQUAÇÃO DO 2º GRAU

É caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, isto é, ax² + bx + c = 0.

Sendo que, a, b e c, denominamos de coeficientes, pertencentes ao conjunto dos números Reais, com a ≠ 0.

  • a é o coeficiente de x².

  • b é o coeficiente de x.

  • c é o termo independente.

EXEMPLOS

  • 2x² + 4x – 6 = 0 a = 2; b =4 e c = – 6

  • x² – 5x + 2 = 0 a =1; b= – 5 e c = 2

  • 0,5x² + x –1 = 0 a = 0,5; b = 1 e c = –1

A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.

  • 2x² + 4x – 6 = 0 a = 2; b =4 e c = – 6

A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0.

  • 2x² – 4 = 0 a = 2; b = 0 e c= – 4

  • - x² + 3x = 0 a = – 1; b = 3 e c = 0

  • x² = 0 a = 1; b =0 e c =0

Método de solução para equações do tipo ax²+ c = 0

O método para determinar a solução de equações incompletas que possuem b = 0 consiste em isolar a incógnita x, ou resolver por meio da fatoração, diferença de dois quadrados. Nesse caso extraímos as raízes do 1º termo e do 2º termos, em seguida, indicamos o produto da soma pela diferença dos dois termos.

Método de solução para equações do tipo ax² + bx = 0

O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c = 0, consiste em utilizar a fatoração por evidência.

Veja: ax² + bx = 0

x·(ax + b) = 0

Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0.

x·(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0

Método de solução para equações completas

O método conhecido como método de Bháskara ou fórmula de Bháskara aponta que as raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax² + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação:

EXEMPLOS

Determine a solução da equação x² – x – 12 = 0.

Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12.

Substituindo esses valores na fórmula de Bháskara, temos:

O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.

Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da equação do 2º grau:

→ discriminante positivo (Δ > 0): Duas soluções para a equação;

→ discriminante igual a zero (Δ = 0): As soluções da equação são repetidas;

→ discriminante negativo (Δ < 0): Não admite solução real.

EXERCITANDO

QUESTÃO 01

Utilizando seus conhecimentos sobre equação do segundo grau, julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas.

I – Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.

II – Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.

III – Quando o valor do discriminante é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.

Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:

(A) todas estão incorretas.

(B) somente a afirmativa I está correta.

(C) somente a afirmativa II está correta.

(D) somente a afirmativa III está correta.

QUESTÃO 02

Dada a equação - x² - 4x + 5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é:

(A) x’ = 2 e x” = - 1

(B) x’ = - 10 e x” = - 1

(C) x’ = - 5 e x” = 1

(D) x’ = 5 e x” = 1

QUESTÃO 03

Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui:

(A) nenhuma solução real.

(B) uma única solução real.

(C) duas soluções reais.

(D) três soluções reais.

QUESTÃO 04

Uma folha quadrada de cartolina tem x cm de lado. Recorta-se dessa folha um retângulo que tem x cm de comprimento e 15 cm de largura. A parte que restou da folha é um retângulo de área 1.750 cm². Encontre a área da folha de cartolina

QUESTÃO 05

Se do quadrado da idade de Luísa subtrairmos o dobro da idade dela, obteremos 10 vezes a idade de Lúcia, a irmã gêmea de Luísa. Qual é a idade de Luísa?

QUESTÃO 06

Determine a solução da equação x² – 81 = 0.

QUESTÃO 07

Encontre a solução da equação – 3x² – 6x = 0.