FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.
Ao escrever um polinômio como uma multiplicação de outros polinômios, frequentemente consegue-se simplificar as expressões.
Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.
Na prática, vamos fazer os seguintes passos:
1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.
Exemplos
a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?
Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado irá colocar dentro dos parênteses:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z) Forma fatorada
b) Fatore 2a²b + 3a³c - a4.
Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.
A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a², que é o menor expoente do a na expressão.
Dividimos cada termo do polinômio por a²:
2a² b : a² = 2b
3a³c : a² = 3ac
a4 : a² = a²
Colocamos o a² na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:
2a²b + 3a³c - a4 = a²(2b + 3ac - a²) Forma fatorada
AGRUPAMENTO
No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Exemplo
Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny
Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.
Colocando esses fatores em evidência:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.
Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y) Forma fatorada
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Trinômios são polinômios com 3 termos.
Os trinômios quadrados perfeitos a² + 2ab + b² e a² - 2ab + b² resultam do produto notável do tipo (a + b)² e (a - b)².
Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
a² + 2ab + b² = (a + b)² (quadrado da soma de dois termos)
a² - 2ab + b² = (a - b)² (quadrado da diferença de dois termos)
Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:
1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.
2º) Multiplicar os valores encontrados por 2.
3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.
Exemplos
a) Fatorar o polinômio x² + 6x + 9
Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.
√x² = x e √9 = 3
Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x
Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.
Assim, a fatoração será:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² Forma fatorada
b) Fatorar o polinômio x² - 8xy + 9y²
Testando se é trinômio quadrado perfeito:
√x² = x e √9y² = 3y
Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy
O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).
Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Para fatorar polinômios do tipo a² - b² usamos o produto notável da soma pela diferença.
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
a² - b² = (a + b) . (a - b)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Exemplo
Fatorar o binômio 9x² - 25.
Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:
√9x² = 3x e √25 = 5
Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:
9x² - 25 = (3x + 5) . (3x - 5) Forma fatorada
SOMA DE DOIS CUBOS
A soma de dois cubos, a³ + b³, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a² – ab + b²).
Exemplo
27x³ + 1000 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(3x)³ + 10³, assim: a = 3x e b = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.
(a + b) (a² - ab + b²)
(3x + 10) ((3x)² – 3x . 10 + 10²)
(3x + 10) (9x² – 30x + 100)
Portanto, a fatoração de 27x³ + 1000 será (3x + 10) (9x² – 30x + 100).
DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
A diferença entre dois cubos, a³ - b³, é igual ao produto do fator (a - b) pelo fator (a² + ab + b²).
Exemplo
27x³ - 8 é a diferença de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(3x)³ + 2³, assim: a = 3x e b = 2
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.
(a - b) (a² + ab + b²)
(3x - 2) ((3x)² + 3x . 2 + 2²)
(3x - 2) (9x² + 6x + 4)
Portanto, a fatoração de 27x³ - 8 será (3x - 2) (9x² + 6x + 4).
EXERCITANDO
QUESTÃO - 01
Colocando o fator comum em evidência, fatore cada um dos seguintes polinômios:
a) a³ + 3a²b
b) 15ab + 10bc
QUESTÃO - 02
Fatore os seguintes polinômios:
a) 15 + 5x + 6a + 2ax
b) 2x² – x + 4xy – 2y
QUESTÃO - 03
Fatore as seguintes expressões:
a) 9x² – 16
b) 4x² – 25a²
QUESTÃO - 04
Fatore as seguintes expressões:
a) x² – 8x + 16
b) 25m² + 20m + 4
QUESTÃO - 05
Escreva o polinômio x³ + 1 como um produto de dois polinômios.
QUESTÃO - 06
Simplifique a seguinte expressão:
x³ + x² - 4x - 4
x² - 4