FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.

Ao escrever um polinômio como uma multiplicação de outros polinômios, frequentemente consegue-se simplificar as expressões.

Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:

FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.

Na prática, vamos fazer os seguintes passos:

1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.

2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).

3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.

Exemplos

a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?

Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado irá colocar dentro dos parênteses:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z) Forma fatorada

b) Fatore 2a²b + 3a³c - a⁴.

Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.

A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a², que é o menor expoente do a na expressão.

Dividimos cada termo do polinômio por a²:

2a² b : a² = 2b

3a³c : a² = 3ac

a⁴ : a² = a²

Colocamos o a² na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:

2a²b + 3a³c - a⁴ = a²(2b + 3ac - a²) Forma fatorada

AGRUPAMENTO

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

Exemplo

Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.

Colocando esses fatores em evidência:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.

Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y) Forma fatorada

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Trinômios são polinômios com 3 termos.

Os trinômios quadrados perfeitos a² + 2ab + b² e a² - 2ab + b² resultam do produto notável do tipo (a + b)² e (a - b)².

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:

a² + 2ab + b² = (a + b)² (quadrado da soma de dois termos)

a² - 2ab + b² = (a - b)² (quadrado da diferença de dois termos)

Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:

1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.

2º) Multiplicar os valores encontrados por 2.

3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.

Exemplos

a) Fatorar o polinômio x² + 6x + 9

Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.

√x² = x e √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.

Assim, a fatoração será:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² Forma fatorada

b) Fatorar o polinômio x² - 8xy + 9y²

Testando se é trinômio quadrado perfeito:

√x² = x e √9y² = 3y

Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy

O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).

Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.

DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

Para fatorar polinômios do tipo a² - b² usamos o produto notável da soma pela diferença.

Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a² - b² = (a + b) . (a - b)

Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Exemplo

Fatorar o binômio 9x² - 25.

Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x² = 3x e √25 = 5

Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:

9x² - 25 = (3x + 5) . (3x - 5) Forma fatorada

SOMA DE DOIS CUBOS

A soma de dois cubos, a³ + b³, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a² – ab + b²).

Exemplo

27x³ + 1000 é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(3x)³ + 10³, assim: a = 3x e b = 10

Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(a + b) (a² - ab + b²)

(3x + 10) ((3x)² – 3x . 10 + 10²)

(3x + 10) (9x² – 30x + 100)

Portanto, a fatoração de 27x³ + 1000 será (3x + 10) (9x² – 30x + 100).

DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

A diferença entre dois cubos, a³ - b³, é igual ao produto do fator (a - b) pelo fator (a² + ab + b²).

Exemplo

27x³ - 8 é a diferença de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(3x)³ + 2³, assim: a = 3x e b = 2

Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(a - b) (a² + ab + b²)

(3x - 2) ((3x)² + 3x . 2 + 2²)

(3x - 2) (9x² + 6x + 4)

Portanto, a fatoração de 27x³ - 8 será (3x - 2) (9x² + 6x + 4).